• Fără categorie
  • 22

Metoda grafica

Eficienta metodei grafice în rezolvarea de exerciţii şi probleme la clasele I – IV

Metoda grafică a apărut din nevoia de a vizualiza datele problemei, precum şi relaţiile dintre acestea, printr-un desen, o figură, un model, facilizând astfel înţelegerea şi rezolvarea problemelor.

Învăţătorul trebuie să înveţe pe elevi ca, la începutul însuşirii acestei metode, să realizeze un desen cât mai detaliat, iar pe măsură ce aceştia îşi formează unele deprinderi şi priceperi, figura să devină cât mai abstractă, mai schematică, cuprinzând numai esenţialul.

Metoda grafică, care este cunoscută şi sub denumirile de „metoda desenului” şi „metoda figurativă”, este folosită cel mai des în rezolvarea problemelor de aflare a două numere cunoscând suma şi diferenţa lor, precum şi a celor de aflare a două numere cunoscând suma sau diferenţa şi raportul lor.

Iată câteva probleme – tip, care se rezolvă prin metoda figurativă, dar cu un grad sporit de dificultate.

Suma şi diferenţa

Maria, Ionel şi Eugenia au împreună 84 de bile colorate. Ştiind că Ionel are cu 4 bile mai multe decât Maria şi cu 7 mai puţine decât Eugenia, să se afle câte bile are fiecare copil.

Reprezentăm prin segmente numărul de bile pentru fiecare copil.

Egalăm numărul de bile pe care îl au ultimii copii cu numărul de bile pe care îl are Maria. Observăm că vom obţine trei părţi egale, iar o parte reprezintă  chiar numărul de bile pe care îl are Maria.

84 – 4 – 4 – 7 = 69 bile

1. Câte bile are Maria?

69 : 3 = 23 bile

2. Câte bile are Ionel?

23 + 4 = 27 bile

3. Câte bile are Eugenia?

27 + 7 = 34 bile

Sumă şi raport

Suma a două numere este 311.Câtul dintre aceleaşi numere este 3 şi restul 11.

Care sunt cele două numere?

1. Cât este al doilea număr?

( 311 – 11 ) : 4 = 75

2. Cât este primul număr?

75 x 3 + 11 = 236

Diferenţă şi raport

Diferenţa dintre două numere este 813, câtul dintre ele este 6 şi restul 3.

Aflaţi cele două numere.

1.     Cât este al doilea număr?

(  813 – 3 ) : 5 = 162

2.     Cât este primul număr?

162 x 6 + 3 = 975

În munca desfăşurată la catedră am căutat ca să extind aria de folosire a acestei metode, nu numai în rezolvarea problemelor de tipul celor arătate mai sus, ci şi în rezolvarea exerciţiilor şi problemelor de alt tip şi  în acţiunile de învăţare creatoare a matematicii la clasele I – IV.

Am pornit în acest sens chiar de la formarea numerelor, compunerea şi descompunerea lor, reuşind ca prin folosirea metodei desenului sau schemei să-i fac pe elevi să înţeleagă mecanismul formării lor şi să-i pregătesc pentru înţelegerea operaţiilor de adunare şi scădere.

Spre exemplu, să presupunem că se învaţă formarea numărului opt din şirul numerelor naturale. Cu ajutorul metodei grafice se poate explica elevilor acest mecanism precum şi descompunerea lui, pornind de la ultimul număr cunoscut – şapte.

Un segment va reprezenta o unitate a unui număr natural. Li se va cere elevilor să deseneze pe caiete, un segment reprezentând o unitate şi şapte segmente reprezentând şapte unităţi (numărul şapte).

Se dă următoarea explicaţie:

Dacă o unitate „vine” spre numărul 7 se formează numărul opt.

La fel se procedează şi în următoarele etape de compunere şi descompunere a numărului 8:

În folosirea metodei grafice a modului de compunere şi descompunere a numerelor naturale, în locul segmentelor se pot folosi cerculeţe:

După reprezentarea schematică a modului de compunere şi descompunere a numărului 8, se scrie cu cifre toate posibilităţile de compunere şi descompunere a  acestui număr.

Eficienţa metodei grafice am remarcat-o şi în modul rapid în care elevii şi-au însuşit tehnica de aflare a unui termen necunoscut.

1.             a + 6 = 14

Se observă cu uşurinţă faptul că pentru a afla segmentul care reprezintă numărul  „a”,  se „dă la o parte” ( se scade ) din segmentul mare, ce reprezintă numărul 14, segmentul ce reprezintă numărul 6.

a = 14 – 6

a = 8

Proba: 8 + 6 = 14

2.             b – 5 = 7

Segmentul mare, ce reprezintă numărul „b”, este format din segmentele ce reprezintă numerele 5 şi respectiv 7. Deci, pentru a afla numărul „b” trebuie să adunăm numerele 5 şi 7.

b = 5 + 7

b = 12

Proba: 12 – 5 = 7

3.             18 – c = 11

Segmentul ce reprezintă numărul 18 este format din segmentele numerelor „c” şi 11. Pentru a afla numărul „c”, se scade din numărul 18 numărul 11.

c = 18 – 11

c = 7

Proba: 18 – 7 = 11

Metoda grafică am folosit-o cu succes în rezolvarea exerciţiilor în care elevii „fac algebră” fără să ştie  că rezolvă exerciţii algebrice. Este vorba de sisteme de ecuaţii cu trei necunoscute ce pot constituii datele şi relaţiile diferitelor probleme:

a + b =  70

b + c =  85

a + c =  75

Se realizează următoarea schemă grafică:

Se dirijează gândirea copiilor punându-i să observe operaţiile doi şi apoi unu.

- De  ce segmentul al II – lea, care reprezintă operaţia b + c = 85, este mai mare ca segmentul I, care reprezintă operaţia a + b = 70,  dacă segmentul „b” este comun celor două operaţii ?

(  Deoarece numărul „c” este mai mare cu 15 decât numărul „a”.)

85 – 70 = 15

- Ce se întâmplă dacă din segmentul al III – lea, care reprezintă operaţia a + c = 75, se scade 15, cu cât este „c” este mai mare ca „a” ?

( Rămâne numărul „a” de 2 ori.)

75 – 15 = 60

a  +  a  = 60

- Cu cât este egal numărul „a” ?

a = 60 : 2

a = 30

În continuare se poate afla cu uşurinţă şi celelalte numere:

b = 70 – 30                    c = 75 – 30

b = 40                            c = 45

Metoda grafică se poate utiliza şi pentru a facilita înţelegerea de către elevi a metodei mersului invers folosită la rezolvarea unor anumite probleme.

Dintr-un depozit s-au scos prima dată a şasea parte din cantitatea de grâu, apoi un sfert din rest, iar a treia oară jumătate din noul rest, rămânând încă 345 tone.

Ce cantitate de grâu a fost la început în depozit?

Rezolvarea prin metoda mersului invers presupune următorul plan:

1. Cât este al doilea rest?

345 t x 2 = 690 t

2. Cât reprezintă o parte din primul rest?

690 : 3 = 230 t

3. Cât reprezintă primul rest?

230 x 4 = 920 t

4. Cât reprezintă a şasea parte din cantitatea totală, depozitată?

920 : 5 = 184 t

5. Ce cantitate de grâu a fost la început?

184 x 6 = 1104 t

Pentru o mai bună înţelegere de către elevi a acestei metode se poate apela la metoda grafică realizând următoarea schemă:

Pentru a demonstra cât este de important este faptul să îi învăţăm pe elevi să folosească metoda grafică în rezolvarea de exerciţii şi probleme voi prezenta o problemă de geometrie a cărei rezolvare este mai uşor înţeleasă dacă se apelează la metoda grafică.

Perimetrul unui dreptunghi este de 72 cm. Să se afle lungimea ştiind că aceasta este de trei ori mai mare decât lăţimea.

Se realizează următorul desen respectând date problemei:

Se observă ca perimetrul este format din 8 părţi egale iar o parte este chiar lăţimea dreptunghiului.

1. Cât este lăţimea dreptunghiului?

72 : 8 = 9 cm

2. Cât este lungimea dreptunghiului?

9 x 3 = 27 cm

Exemplele prezentate mai sus demonstrează importanţa folosirii metodei grafice şi eficienta acesteia în înţelegerea de către elevi a felului în care se pot rezolva unele problemele de matematică în învăţământul primar.

 

You may also like...

22 Responses

  1. PADUREANU spune:

    Puteti sa ma ajutati cu rezolvarea acestei probleme?
    Avem trei numere:a,b,c;b este cu 4 mai mare decat treimea lui a;c este dublul lui a;diferenta dintre a si b este 10.Aflati numerele a,b c?

    Multumesc!

    • Dan Ionescu spune:

      Trasati un segment de dreapta care sa reprezinte numarul a. Impartiti acest segment in trei parti egale.
      Pentru reprezentarea numarului b, desenati un segment care sa fie egal cu 1/3 din segmentul a (e bine sa trasati aceste segmente din acelasi punct de plecare, unul sub celalalt, pentru a observa mai usor calculele care duc la rezolvarea problemei). In continuarea segmentului care este egal cu 1/3 din segmentul care reprezinta numarul a, trasati alt segment, mai mic, care sa reprezinte numarul 4 (cu cat este mai mare numarul b decat 1/3 din a). Astfel am reprezentat numarul b.
      Numarul c se reprezinta printr-un segment, dublu ca lungime decat segmentul care reprezinta numarul a. Acest segment trebuie impartit in 6 parti egale. Se va observa ca 1/6 din segmentul c este egala cu 1/3 din segmentul a.
      Observand segmentele numerelor a si b si tinand cont de enuntul problemei, ca diferenta dintre cele doua numere este de 10, atunci putem spune ca 2/3 reprezinta suma dintre diferenta numerelor a si b plus 4.
      10 + 4 = 14 (2/3 din a)
      1/3 din a va fi egala cu:
      14 : 2 = 7
      Rezulta:
      a = 7 x 3
      a = 21
      b = 7 + 4
      b = 11
      c = a x 2
      c = 21 x 2
      c = 42

  2. Florin spune:

    va rog sa ma lamuriti si pe mine cu o problema: la un concurs, pentru rezolvarea unei probleme se primesc 6 puncte iar la nerezolvarea ei se scad 2. o eleva rezolva 12 probleme si primeste 48 puncte. cate probleme a rezolvat corect si cate gresit eleva ?

    • Dan Ionescu spune:

      La o problema nerezolvata, practic pierde 8 puncte (6 puncte pe care le primeste pentru o problema rezolvata + 2 puncte care se scad daca nu rezolva o problema corect).
      Daca ar fi rezolvat corect toate cele 12 probleme ar fi primit 72 puncte.
      Diferenta de 24 puncte (72 – 48) reprezinta punctele pe care le-a pierdut nerezolvand 3 probleme (24 : 8 = 3).
      Raspuns: 9 probleme rezolvate corect;
      3 probleme nerezolvate

      Scuze pentru intarziere!

  3. Florin spune:

    multumesc mult

  4. ciprian spune:

    Ma puteti ajuta cu urmatoarele probleme?

    b>cu 3 decat treimea lui a
    diferenta dintre a si b este 7
    a, b = ?

    si

    a>b de 9 ori
    c>cu 15 decat triplul lui b
    diferenta dintre a si c este 15
    a, b,c = ?

    Multumesc mult!

    • Dan Ionescu spune:

      Reprezinta pe a printr-un segment. Imparte segmentul in 3 parti egale…si reprezinta pe b printr-un alt segmen pe care il desenezi sub segmentul a….Daca nu-ti dai seama cum se rezolva in continuare…dupa cateva ore…vei rezolva problema. La fel si problema a doua. Imi trimiti rezolvarile si…le discutam! Numai astfel vei invata!

  5. angela spune:

    Nu reusesc sa rezolv urmatoarea problema de clasa a IV -a prin metoda grafica;
    Suma a trei numere este 2450. Sa se afle numerele stiind ca primul numar este cu 250 mai mare decat al doilea si cu 180 mai mare decat al treilea. (Imi da fie cu rest la impartire, fie nu imi mai iese suma la verificare.)

    Multumesc mult!

    • Dan Ionescu spune:

      Reprezintă următorul graphic:

      Un segment de dreaptă (o lungime mai mare) care reprezintă marimea numarului 1.
      Sub primul segment, reprezinta numărul 2 printr-un segment de dreaptă mai mic decât primul. Diferenţa dintre acesta şi primul este de 250.
      Sub al doilea segment desenaţi, pentru al treilea număr, un segment mai mic decât primul segment cu 180. Se observă ca al treilea segment este cu 70 mai mare decât al doilea segment ( 250 – 180 = 70).
      Din grafic se observă ca numărul 1 este cu 250 mai mare decât numarul 2 şi cu 180 mai mare decât numărul 3. În acelaşi timp se observă că numărul 3 este mai mare decât numărul 2 cu 70.
      Egalăm numerele 1 şi 3 cu numărul 2 prin scăderea din suma 2450 a diferentelor celorlalte numere, respective 250 şi 70.
      Vom obţine 3 numere egale a căror suma va fi 2130.

      2450 – 250 – 70 = 2130

      Unul din cele 3 segmente egale este chiar numărul 2.

      2130 : 3 = 710 – numărul 2

      Numarul 1
      710 + 250 = 960

      Numărul 3

      710 + 70 = 780

      Proba:

      960 + 710 + 780 = 2450

      • angela spune:

        Multumesc mult! M-am incapatanat sa reprezint primul segment pentru cel de-al doilea numar, apoi in functie de acesta, restul. In cazul acesta nu vedeam diferenta de 70, am lucrat doar cu 250 si 180. Multumesc!

  6. Andreea spune:

    Buna ziua, Va rog foarte mult sa imi explicati cum se rezolva urmatoarea problema: Andrei, Mircea si Radu au citit 3 carti, care au impreuna 864 de pagini.Cate pagini a citit fiecare,daca Andrei a citit de 3 ori mai multe pagini decat Radu,iar Mircea a citit cat Radu si Andrei impreuna? MULTUMESC

    • Dan Ionescu spune:

      Simplitatea rezolvarii acestei probleme ma determina sa concluzionez faptul ca nici nu incercati sa rezolvati problemele pe care le prezentati…Asa nu veti invata sa folositi aceasta metoda! Si eu pe acest site nu “dau meditatii”! Scopul meu este sa va fac, ca singuri, sa descoperiti “secretele” acestei metode. Cititi toate articolele, rezolvarile si explicatiile pe care le-am expus in rezolvarea problemelor pe care le-ati trimis!
      …In raport de datele problemei veti obtine un grafic prin care se va reliefa ca suma paginilor celor trei carti este formata din 8(opt) parti egale(segmente egale), o parte reprezentand paginile pe care le-a citit Radu.

  7. Robert Teodorescu spune:

    Buna ziua, ma puteti ajuta si pe mine? Intr-o cutie sunt 481 bile rosii, galbene si negre. Cele galbene sunt cu 36 mai multe decat bilele rosii, iar cele negre de 3 ori mai multe decat cele rosii. Cate bile sunt de fiecare culoare? Multumesc

    • Dan Ionescu spune:

      Va rog sa cititi raspunsul anterior si sa va conformati…pentru a invata sa rezolvati, macar, aceste probleme simple! Si totusi…
      Graficul pe care trebuie sa-l realizati pentru a rezolva aceasta problema…:
      1. un segment de dreapta care sa reprezinte numarul de bile rosii;
      2. un segment pentru numarul de bile galbene, cu limitarile necesare conform datelor problemei;
      3. un ultim segment care sa reprezinte numarul de bile negre (de 3 ori mai mare decat segmentul pentru bilele rosii;
      4. scadeti din suma 481 diferenta de 36 (cea dintre numarul bilelor galbene si rosii) pentru a obtine o noua suma care sa fie formata din 5 parti(segmente) egale, o parte reprezentand chiar numarul de bile rosii.
      Apoi…aflati si numarul bilelor galbene si rosii(conform datelor problemei corelate cu graficul realizat).
      Succes!

  8. BOSTAN SEBASTIAN spune:

    BUNA ZIUA . AJUTATI-MA SA INTELEG ACEASTA PROBLEMA :
    Suma a 2 nr. este 80.Primul nr este egal cu suma dintre jumatatea sa si dublul celui de-al doilea.Afla nr.
    DECI :
    A+B=80
    A=(A:2+B*2)
    (A:2+B*2)+B=80
    MAI DEPARTE CUM SA FAC ??? {pe alte forumuri se rezolva cu 80:5=16 (b), si (a)=64} , DE CE LA IMPARTIT LA 5 de unde la luat ?????

    • Dan Ionescu spune:

      Daca reprezentati grafic datele problemei veti intelege de unde apare numarul 5 !!
      ……
      Reprezentati al doilea numar printr-un segment de dreapta.
      Imaginati-va primul numar format din cele doua jumatati, “separate”!
      O jumatate este formata (conform datelor problemei) din chiar “jumatatea sa”.
      Cealalta jumatate este formata din dublul celui de-al doilea numar ( din enuntul problemei), adica din doua parti (segmente) egale. Acesta jumatate este egala (normal) cu “jumatatea sa”. Deci, si “jumatatea sa” este formata din doua parti (segmente) egale. Sper ca ai inteles ca primul numar este format din 4 (patru) parti (segmente) egale, fiecare parte fiind egala cu al doilea numar.
      Atunci suma 80 va fi formata din 5 parti egale(o parte reprezentand al doilea numar si 4 parti reprezentand primul numar).
      80 : 5 = 16 numarul al doilea.
      16 x 4 = 64 primul numar
      …..
      Cum sa continuati rezolvarea algebrica (putem sa-i spune chiar aritmetica…)?
      Mai intai scrieti ultima egalitate folosind parantezele pentru a va ajuta sa delimitati jumatatile primului numar
      ((A:2) + (2*B)) + B = 80
      Egalati cele doua jumatati ale primului numar:
      A:2 = 2*B deci 2*B = 2*B
      Atunci:
      (2*B) + (2*B) + B = 80
      5 *B = 80 sau 5B = 80
      B = 80 : 5
      B = 16
      Sper ca am fost inteles!?

  9. CHIRITA spune:

    va rog ajutati-ma cu ac problema;suma a trei nr este878.primul nr este egal cu triplul celui de-al doilea si cu 39 mai mare decat cel de-al treilea .afla cele trei nr?

    • Dan Ionescu spune:

      Ati citit cum s-au rezolvat problemele anterioare?
      Reprezentati un segment pentru numarul al doilea…
      Succes!

  10. cecilia spune:

    buna ziua
    Va rog sa ma ajutati sa inteleg cum se poate rezolva aceasta problema de clasa a patra, cred ca fara ecuatie.
    Suma a doua numere este 75 iar raportul lor 2/3. Care sunt numerele?
    multumesc foarte frumos

    • Dan Ionescu spune:

      Ce reprezinta raportul a doua numere? Multe “necunoscute” pentru un “elev” din clasa a IV-a pentru acest moment al anului scolar…?! Chiar daca as exlica tot nu ati intelege. Sunt multe de explicat. Si totusi…
      a = primul numar
      b = al doilea numar
      a / b = 2 / 3
      a + b = 5 parti egale
      a + b = 75
      75 : 5 = 15 (o parte)
      a = 15 x 2
      a = 30
      b = 15 x 3
      b = 45
      Proba:
      a / b = 30 / 45
      Prin simplificari (impartiri) la 5 ( 6 / 9 ) si la 3 se obtine raportul 2/3
      Daca nu ati inteles inseamna ca…eu am gresit.
      Va rog din suflet sa nu neglijati pregatirea zilnica…a elevului!

Lasă un răspuns

Adresa ta de email nu va fi publicată. Câmpurile necesare sunt marcate *


8 × = patruzeci

Poți folosi aceste etichete HTML și atribute: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>